$ABC$ एक समतल में त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 3, 2)$ और $C(\lambda, 5, \mu)$ हैं। यदि $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,तो $(\lambda^3 + \mu^3 + 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है और $P$ एक ऐसा बिंदु है जो मूल बिंदु से $3$ इकाई की दूरी पर है। यदि $\vec{OP}$ के दिक्-अनुपात $(1, -2, -2)$ हैं,तो $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $90^{\circ}, 60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो इसकी दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक अनुपात $(l, m, n)$ समीकरणों $l+m-n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करते हैं।

समतल $3x + 4y + 12z = 52$ के अभिलंब की दिक्-कोसाइन क्या होगी?

यदि उन रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है जिनके दिक्-कोसाइन $\left(-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{C}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}\right)$ और $\left(\frac{3}{\sqrt{54}}, \frac{3}{\sqrt{54}}, -\frac{6}{\sqrt{54}}\right)$ हैं, तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।