$(a)$ दर्शाइए कि आवेशित सतह के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थिर-विद्युत क्षेत्र का अभिलंब घटक असतत होता है, जो $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\hat{n}$ सतह के एक बिंदु पर अभिलंब इकाई सदिश है और $\sigma$ उस बिंदु पर पृष्ठीय आवेश घनत्व है। ($\hat{n}$ की दिशा पक्ष $1$ से पक्ष $2$ की ओर है।) अतः, दर्शाइए कि एक चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $\frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$ है। $(b)$ दर्शाइए कि स्थिर-विद्युत क्षेत्र का स्पर्शरेखीय घटक आवेशित सतह के एक तरफ से दूसरी तरफ सतत होता है।

$(A)$ आवेशित सतह के एक छोटे क्षेत्रफल को घेरने वाला एक छोटा गॉसियन पिलबॉक्स (बेलन) लें जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। गॉस के नियम के अनुसार, पिलबॉक्स से गुजरने वाला फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है। किनारों से गुजरने वाला फ्लक्स नगण्य है। दो सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स $(E_{2n} - E_{1n})A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$ है, जहाँ $E_{2n}$ और $E_{1n}$ अभिलंब घटक हैं। इस प्रकार, $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$। एक चालक के लिए, अंदर का क्षेत्र $E_1 = 0$ है, इसलिए $E_2 \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, जो दर्शाता है कि $E = \frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$। $(b)$ सतह पर स्थित लंबाई $l$ और चौड़ाई $w$ का एक छोटा आयताकार लूप लें। एक बंद लूप के चारों ओर आवेश को घुमाने में स्थिर-विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है $(\oint E \cdot dl = 0)$। जैसे-जैसे चौड़ाई $w \to 0$ होती है, किनारों से योगदान समाप्त हो जाता है, जिससे $(E_{1t} - E_{2t})l = 0$ बचता है, जहाँ $E_{1t}$ और $E_{2t}$ स्पर्शरेखीय घटक हैं। इस प्रकार, $E_{1t} = E_{2t}$, जो सिद्ध करता है कि स्पर्शरेखीय घटक सतत है।