घूर्णी गति में जड़त्व आघूर्ण और बल आघूर्ण (टॉर्क) के अनुरूप रेखीय गति में समतुल्य राशियाँ बताइए।

एक कण $L$ कोणीय संवेग के साथ घूर्णन गति करता है। यदि घूर्णन की आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए और इसकी गतिज ऊर्जा एक-चौथाई हो जाए,तो नया कोणीय संवेग क्या होगा?

एक यो-यो एक खुरदरी क्षैतिज मेज पर स्थिर है। बल $F_1, F_2$ और $F_3$ को अलग-अलग रूप से चित्रानुसार लगाया जाता है। सही कथन है

$t=0$ समय पर मूल बिंदु पर विराम अवस्था में स्थित $1.0 \ kg$ द्रव्यमान के एक पिंड पर विचार करें। पिंड पर एक बल $\overrightarrow{F}=(\alpha t \hat{i}+\beta \hat{j})$ लगाया जाता है,जहाँ $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$ है। समय $t=1.0 \ s$ पर मूल बिंदु के परितः पिंड पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,इकाई सदिश $+\hat{k}$ की दिशा में है
$(C)$ $t=1 \ s$ पर पिंड का वेग $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ है
$(D)$ $t=1 \ s$ पर पिंड के विस्थापन का परिमाण $\frac{1}{6} \ m$ है

$M$ द्रव्यमान के एक ब्लॉक में दिखाए अनुसार घर्षण रहित सतह के साथ एक गोलाकार कट है। ब्लॉक एक स्थिर मेज की क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर रखा है। प्रारंभ में,ब्लॉक का दायां किनारा मेज से जुड़ी एक समन्वय प्रणाली में $x=0$ पर है। एक बिंदु द्रव्यमान $m$ को दिखाए अनुसार पथ के सबसे ऊपरी बिंदु से विरामावस्था से छोड़ा जाता है और यह नीचे की ओर फिसलता है। जब द्रव्यमान ब्लॉक के साथ संपर्क खो देता है,तो इसकी स्थिति $x$ है और वेग $v$ है। उस क्षण,निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$[A]$ ब्लॉक $M$ के द्रव्यमान केंद्र के विस्थापन का $x$ घटक: $-\frac{m R}{M+m}$ है।
$[B]$ बिंदु द्रव्यमान की स्थिति: $x=-\sqrt{2} \frac{mR}{M+m}$ है।
$[C]$ बिंदु द्रव्यमान $m$ का वेग: $v=\sqrt{\frac{2 g R}{1+\frac{m}{M}}}$ है।
$[D]$ ब्लॉक $M$ का वेग: $V=-\frac{m}{M} \sqrt{2 g R}$ है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ टॉर्क किसी वस्तु में कोणीय वेग उत्पन्न करता है।
$(2)$ किसी दृढ़ पिंड की घूर्णी गति के लिए उसके सभी कणों के रैखिक चर समान होते हैं।