text{यदि } int frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x$.अंश को $2 e^{x}+3 e^{-x} = A(4 e^{x}+7 e^{-x}) + B(4 e^{x}-7 e^{-x})$ के रूप में व्य

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$7$

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(C) माना $I = \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x$.अंश को $2 e^{x}+3 e^{-x} = A(4 e^{x}+7 e^{-x}) + B(4 e^{x}-7 e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करने पर.$e^{x}$ और $e^{-x}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$4A + 4B = 2 \Rightarrow A+B = \frac{1}{2}$$7A - 7B = 3 \Rightarrow A-B = \frac{3}{7}$दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2A = \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7+6}{14} = \frac{13}{14} \Rightarrow A = \frac{13}{28}$.दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2B = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7-6}{14} = \frac{1}{14} \Rightarrow B = \frac{1}{28}$.अतः,$I = \int \left( \frac{13}{28} + \frac{1}{28} \frac{4 e^{x}-7 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} \right) d x$.$I = \frac{13}{28} x + \frac{1}{28} \log_{e} |4 e^{x}+7 e^{-x}| + C$.दिए गए रूप $\frac{1}{14}(u x + v \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$ से तुलना करने के लिए,हम $I$ को इस प्रकार लिखते हैं:$I = \frac{1}{14} (\frac{13}{2} x + \frac{1}{2} \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$.तुलना करने पर,हमें $u = \frac{13}{2}$ और $v = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$u+v = \frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$\text{यदि } \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x=\frac{1}{14}\left(u x+v \log _{e}\left(4 e^{x}+7 e^{-x}\right)\right)+C$ जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है,तो $u+v$ का मान .... है।

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