$A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। $A$ जीतता है यदि वह $B$ के $8$ के योग से पहले $5$ का योग प्राप्त करता है,और $B$ जीतता है यदि वह $A$ के $5$ के योग से पहले $8$ का योग प्राप्त करता है। यदि $A$ पहली बार फेंकता है,तो $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

पहली थैली में $3$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं और दूसरी थैली में $6$ लाल और $4$ काली गेंदें हैं। प्रत्येक थैली से एक गेंद निकाली जाती है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि एक गेंद लाल और दूसरी काली हो?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनें पहचानी न जाएं। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

तीन स्वतंत्र घटनाओं $E_1, E_2$ और $E_3$ में से,केवल $E_1$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_2$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_3$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए कि प्रायिकता $p$ कि $E_1, E_2$ या $E_3$ में से कोई भी घटना घटित न हो,समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएं अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

ताश के पत्तों के दो डेक को अच्छी तरह से फेंटा जाता है और एक खिलाड़ी को $26$ पत्ते यादृच्छिक रूप से वितरित किए जाते हैं। तो, इस बात की प्रायिकता क्या है कि खिलाड़ी को सभी अलग-अलग पत्ते मिलें?