int frac{log sqrt{x}}{3 x} ,d x का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$ है।हम जानते हैं कि $\log \sqrt{x} = \log (x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ होता है।इस मान को समाकलन

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$\frac{1}{12}(\log x)^2+c$,(जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$ है।हम जानते हैं कि $\log \sqrt{x} = \log (x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ होता है।इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} \,d x = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} \,d x$ प्राप्त होता है।माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \,d x$ होगा।अब समाकलन $I = \frac{1}{6} \int u \,du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{12} + c$ हो जाएगा।$u = \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{12} (\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int(3-x) \sqrt{4-x} \, dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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