એક વ્યક્તિ તેના ઘરેથી $2.5 \ km$ દૂર આવેલા બજાર સુધી $5 \ km/h$ ની ઝડપે સીધા રસ્તા પર ચાલે છે અને તરત જ પાછા ફરીને $7.5 \ km/h$ ની ઝડપે તેના ઘરે પહોંચે છે. $0$ થી $50 \ min$ ના સમયગાળા દરમિયાન વ્યક્તિની સરેરાશ ઝડપ ($m/s$ માં) કેટલી હશે?

વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=3^{-x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તેના વિશે નીચેના વિધાનો તપાસો:
$I$. $f$ એક-એક વિધેય છે.
$II$. $f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$III$. $f$ એ ઘટતું વિધેય છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

આકૃતિ ચાર ગ્રહોના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $a_g$ નો ગ્રહના કેન્દ્રથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ સાથેનો ફેરફાર દર્શાવે છે,જ્યાં $r \geq$ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે. આલેખ $1$ અને $2$ એ $r \geq R_2$ માટે એકબીજા પર સંપાત થાય છે,અને આલેખ $3$ અને $4$ એ $r \geq R_4$ માટે એકબીજા પર સંપાત થાય છે. ગ્રહોની ઘનતાના ઉતરતા ક્રમમાં શ્રેણી નીચે મુજબ છે:

સમાન સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે પદાર્થો $A$ અને $B$ ની થર્મલ ઉત્સર્જકતા અનુક્રમે $0.01$ અને $0.81$ છે. બંને પદાર્થો સમાન દરે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. પદાર્થ $A$ અને $B$ માંથી મહત્તમ ઉર્જા અનુક્રમે $\lambda_A$ અને $\lambda_B$ તરંગલંબાઇ પર ઉત્સર્જિત થાય છે. આ બે તરંગલંબાઇઓ વચ્ચેનો તફાવત $1 \mu m$ છે. જો પદાર્થ $A$ નું તાપમાન $5802 \ K$ હોય,તો $\lambda_B$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો વિધેય $f$ જે $\left( \frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{3} \right)$ પર $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\cot x - 1}, & x \neq \frac{\pi}{4} \\ k, & x = \frac{\pi}{4} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને તે સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ચોક્કસ તાપમાને ઓક્સિજન $(O_2)$ માં ધ્વનિની ઝડપ $460 \; m/s$ છે. તે જ તાપમાને હિલિયમ $(He)$ માં ધ્વનિની ઝડપ કેટલી હશે ($; m/s$ માં)? (બંને વાયુઓને આદર્શ ધારો):