sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k-1} k^2 का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) दिया गया योग $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (2n+1)^2$ है। हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots +

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$(n+1)(2n+1)$

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(A) दिया गया योग $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (2n+1)^2$ है। हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$. सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर: $S = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$. $S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$. $S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$. कोष्ठक के अंदर का योग $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a=3$ और अंतिम पद $l=4n-1$ है। योग $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$. अतः,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$. $S = (2n+1) [-(n) + (2n+1)]$. $S = (2n+1)(n+1)$.

$\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k-1} k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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