int x^2 sin x cos x , dx = | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{

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$\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 \sin 2x \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$ लें। अतः $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$. $I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x) \, dx \right]$ $I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$. पुनः $\int x \cos 2x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$ लें। अतः $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$. $\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$. इस मान को वापस रखने पर: $I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + c$ $I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$. विकल्पों के साथ तुलना करने पर,इस पद को $\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

$\int x^2 \sin x \cos x \, dx =$

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