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Question

(B) दी गई सीमा $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{12n} \right)$ है।यह $\int_{0}^{1}

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$\frac{6(\sqrt{2}-1)}{\pi}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई सीमा $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{12n} \right)$ है।यह $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})$ के रूप का रीमान योग है।यहाँ,$f(x) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x)$ है।अतः,$l = \int_{0}^{1} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) dx$ है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$l = \left[ -\frac{12}{\pi} \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) \right]_{0}^{1}$$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$$l = \frac{12}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right] = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{\pi}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

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यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\le x$ को दर्शाता है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^4} \left( [1^3 x] + [2^3 x] + \dots + [n^3 x] \right)$ का मान क्या होगा?

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} + \frac{1}{\sqrt{4n^2-4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4n^2-n^2}} \right)$ का मान है

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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