int frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = | vedclass

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Question

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$ को हल करने के लिए, हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $x^2 = t$. तब $\f

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$\frac{1}{3} 	an^{-1} x - \frac{1}{6} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

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(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$ को हल करने के लिए, हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $x^2 = t$. तब $\frac{1}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा, $1 = A(t+4) + B(t+1)$.$t = -1$ रखने पर, हमें $1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।$t = -4$ रखने पर, हमें $1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।अतः, $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4} ight)$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+1} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+2^2}$.मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$I = \frac{1}{3} 	an^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.$I = \frac{1}{3} 	an^{-1} x - \frac{1}{6} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.

$\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = $

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$\int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x = P x + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $P, Q, R$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

$\int \frac{x \, dx}{(x-1)^2(x+2)} = $

यदि $\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$ है, तो $\alpha=$

यदि $\int \frac{dx}{x(\log x-2)(\log x-3)}=I+C$ है, तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$ है। यदि $f(3) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{5}{6}\right)$ है,तो $f(0)$ ज्ञात कीजिए।

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