$L$ લંબાઈના સાદા લોલક સાથે $m$ દળનો ગોળો જોડાયેલ છે. જ્યારે ગોળો તેના સૌથી નીચલા સ્થાને હોય, ત્યારે તેને શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ સમક્ષિતિજ ઝડપ આપવામાં આવે છે. જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ હોય, ત્યારે ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ કેટલું હશે?

$m$ દળ ધરાવતું એક નાનું પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધગોળાની ટોચ પરથી નીચે સરકે છે. બ્લોક અને અર્ધગોળાની સપાટી ઘર્ષણરહિત છે. જે ઊંચાઈએ પદાર્થ ગોળાની સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે તે ઊંચાઈ કેટલી છે?

એક કણ શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરી રહ્યો છે. જ્યારે તે શિરોલંબ (સૌથી નીચલા સ્થાન) થી $30^\circ$ અને $60^\circ$ ના ખૂણે બે સ્થાનો પરથી પસાર થાય છે ત્યારે દોરીમાં તણાવ અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ છે. તો:

બોબની ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિમાં,List-$I$ ના ઘટકોને List-$II$ ના ઘટકો સાથે જોડો. અહીં,$v_0$ એ સૌથી નીચલા બિંદુએ બોબનો વેગ છે.

List-$I$ (સૌથી નીચલા બિંદુએ ઝડપ)	List-$II$ (શક્ય પરિસ્થિતિ)
$(P) v_0 = \sqrt{5 g \ell}$	$(1)$ સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $= 6 mg$
$(Q) v_0 = \sqrt{g \ell}$	$(2)$ દોરી અમુક સમય માટે ઢીલી પડશે
$(R) v_0 = 2 \sqrt{g \ell}$	$(3)$ બોબ દોલન કરશે
$(S) v_0 = 3 \sqrt{g \ell}$	$(4)$ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ તણાવ $= 4 mg$

$m$ દળના ગોળાને $L$ લંબાઈની હલકી દોરી વડે લટકાવેલ છે. તેને સૌથી નીચેના બિંદુ $A$ પર $v_{o}$ જેટલો સમક્ષિતિજ વેગ આપવામાં આવે છે જેથી તે શિરોલંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરે અને સૌથી ઉપરના બિંદુ $C$ પર પહોંચતા જ દોરી ઢીલી પડે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ: $(i) v_{o}$ માટેનું સૂત્ર મેળવો; $(ii)$ બિંદુ $B$ અને $C$ પરના વેગ શોધો; $(iii)$ $B$ અને $C$ પરની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $(K_{B} / K_{C})$ શોધો. બિંદુ $C$ પર પહોંચ્યા પછી ગોળાના ગતિપથ વિશે ટિપ્પણી કરો.

એક બિંદુવત દળ '$m$' જે '$\ell$' લંબાઈની દળરહિત,અદબનીય દોરીના એક છેડે બાંધેલું છે,તે શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે અને દોરી શિરોલંબ સમતલમાં ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જ્યારે બિંદુવત દળ બિંદુ $A$ થી બિંદુ $C$ પર જાય ત્યારે તેના કેન્દ્રગામી પ્રવેગમાં થતો વધારો કેટલો હશે? $(g = \text{ગુરુત્વપ્રવેગ})$: