mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^x} - {e | vedclass

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Question

(C) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$.$e^x$ और $e^{-x}$ के लिए श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$e^x =

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$2$

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(C) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$.$e^x$ और $e^{-x}$ के लिए श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$दोनों श्रेणियों को घटाने पर:$e^x - e^{-x} = 2 \left( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots ight)$इसे सीमा में रखने पर:$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{2 \left( x + \frac{x^3}{6} + \dots ight)}{\sin x}$अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{2 \left( 1 + \frac{x^2}{6} + \dots ight)}{\frac{\sin x}{x}}$चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x} = 1$:$y = \frac{2(1 + 0)}{1} = 2$.वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{\frac{d}{dx}({e^x} - {e^{ - x}})}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{\cos x}} = \frac{{{e^0} + {e^0}}}{{\cos 0}} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$ का मान है

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यदि $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x])$,$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x])$ और $l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{\cos x}{x - \pi/2}$ है,तो:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^m}{(\log x)^n}$,जहाँ $m, n \in N$ है,का मान क्या है?

मान लीजिए $f(x) = x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + 2x + 3$,$x \in R$ है। तो वह प्राकृतिक संख्या $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n} f(1) - f(x)}{x - 1} = 44$ है।

यदि $f''(x)$,$x = 0$ पर सतत है और $f''(0) = 4$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - 3f(2x) + f(4x)}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {Limit}\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x\sqrt{x}} \left( a \tan^{-1} \frac{\sqrt{x}}{a} - b \tan^{-1} \frac{\sqrt{x}}{b} \right)$ का मान किसके बराबर है?

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