एक निष्पक्ष पासे को अनिश्चित काल तक उछाला जाता है। खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $3$ या $5$ आता है, और खिलाड़ी $B$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $1$ या $2$ या $4$ या $6$ आता है। खिलाड़ी $A$ के जीतने की प्रायिकता है:

समुच्चय ${1, 2, 3, \dots, 8}$ से यादृच्छिक रूप से तीन संख्याएँ चुनी जाती हैं। यदि यह दिया गया है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम $3$ और अधिकतम $6$ है, तो तीसरी संख्या के $4$ या $5$ होने की प्रायिकता क्या है?

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

यदि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे के दो बार फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?

$12$ गेंदों को $3$ बक्सों में वितरित किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होंगी?