int frac{1}{x^2 sqrt{1 + x^2}} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $x = 	an 	heta$ है। तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ होगा। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}

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$-\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $x = 	an 	heta$ है। तब $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ होगा। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{	an^2 	heta \sqrt{1 + 	an^2 	heta}} = \int \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{	an^2 	heta \sec 	heta} = \int \frac{\sec 	heta}{	an^2 	heta} \, d	heta$. व्यंजक को सरल करने पर: $\int \frac{1/\cos 	heta}{\sin^2 	heta / \cos^2 	heta} \, d	heta = \int \frac{\cos 	heta}{\sin^2 	heta} \, d	heta = \int \csc 	heta \cot 	heta \, d	heta$. $\csc 	heta \cot 	heta$ का समाकलन $-\csc 	heta + c$ होता है। चूंकि $x = 	an 	heta$,इसलिए $	an 	heta = \frac{x}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\csc 	heta = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$। अतः,अंतिम उत्तर $-\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} + c$ है।

$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} \, dx = $

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$\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx = $

$\int \frac{x^2 \tan^{-1}(x^3)}{1 + x^6} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}} = a(1+x^2) \sqrt{1+x^2} + b \sqrt{1+x^2} + c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $3ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

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