int_0^a {frac{{{x^4},dx}}{{{{({a^2} + {x^2})} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} $. $x = a 	an 	heta $ મૂકતા,તેથી $dx = a \sec^2 	heta \, d	heta $. જ્યારે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{{16{a^3}}}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{3}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} $. $x = a 	an 	heta $ મૂકતા,તેથી $dx = a \sec^2 	heta \, d	heta $. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$. જ્યારે $x = a$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{4}$. $I = \int_0^{\pi/4} \frac{a^4 	an^4 	heta \cdot a \sec^2 	heta \, d	heta}{(a^2 + a^2 	an^2 	heta)^4} = \int_0^{\pi/4} \frac{a^5 	an^4 	heta \sec^2 	heta \, d	heta}{a^8 \sec^8 	heta} = \frac{1}{a^3} \int_0^{\pi/4} \sin^4 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$. $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ અને $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 	heta \cos^2 	heta = (\frac{1 - \cos 2	heta}{2})^2 (\frac{1 + \cos 2	heta}{2}) = \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2	heta + \cos^2 2	heta)(1 + \cos 2	heta) = \frac{1}{8} (1 - \cos 2	heta - \cos^2 2	heta + \cos^3 2	heta)$. $\cos^2 2	heta = \frac{1 + \cos 4	heta}{2}$ અને $\cos^3 2	heta = \frac{3\cos 2	heta + \cos 6	heta}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{8a^3} \int_0^{\pi/4} (1 - \cos 2	heta - \frac{1 + \cos 4	heta}{2} + \frac{3\cos 2	heta + \cos 6	heta}{4}) \, d	heta = \frac{1}{32a^3} \int_0^{\pi/4} (4 - 4\cos 2	heta - 2 - 2\cos 4	heta + 3\cos 2	heta + \cos 6	heta) \, d	heta = \frac{1}{32a^3} \int_0^{\pi/4} (2 - \cos 2	heta - 2\cos 4	heta + \cos 6	heta) \, d	heta$. $I = \frac{1}{32a^3} [2	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} - \frac{\sin 4	heta}{2} + \frac{\sin 6	heta}{6}]_0^{\pi/4} = \frac{1}{32a^3} [2(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{6}(-1)] = \frac{1}{32a^3} [\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}] = \frac{1}{32a^3} [\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}] = \frac{1}{16a^3} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}]$.

$\int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} = $

Similar Questions

જો $2f(x) - 3f\left( \frac{1}{x} \right) = x$ હોય,તો $\int_1^2 f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો:

જો $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,$(k > 0)$,હોય તો $k$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 \frac{x \, dx}{x^3 + 16}$ ની કિંમત અંતરાલ $[a, b]$ માં આવેલી છે. આવો સૌથી નાનો અંતરાલ કયો છે?

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module