int_0^{1.5} {[x^2] , dx},जहाँ [.] महत्तम पूर् | vedclass

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Question

(B) समाकलन $I = \int_0^{1.5} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[0, 1.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है।$x

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$2 - \sqrt{2}$

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(B) समाकलन $I = \int_0^{1.5} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[0, 1.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है।$x^2 = 1 \implies x = 1$$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$अतः,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:$I = \int_0^1 [x^2] \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] \, dx$$0 \le x $1 \le x $\sqrt{2} \le x इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 \, dx$$I = 0 + [x]_1^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5}$$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(1.5 - \sqrt{2})$$I = \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2}$$I = 2 - \sqrt{2}$

$\int_0^{1.5} {[x^2] \, dx}$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,का मान है

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यदि $24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| + [2 \sin x] \right) dx = 2 \pi + \alpha$,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो $\alpha$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है, तो समाकलन $\int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$ है, तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1}^{x} \frac{\log(x^2)}{x} \, dx = $

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{5}(x+1) d x$

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