$\int_0^{2a} \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx = $

ધારો કે $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,અને $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ અને $f(x)=\sin^2 x$,દરેક $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ માટે.
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ નું મૂલ્ય.

જો $\int_0^{\pi / 2} \tan ^{14}\left(\frac{x}{2}\right) d x=2\left[\sum_{n=1}^7 f(n)-\frac{\pi}{4}\right]$ હોય, તો $f(n)=$

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $f$ એ $[-10, 10]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} x - [x], & \text{જો } [x] \text{ એકી હોય} \\ 1 + [x] - x, & \text{જો } [x] \text{ બેકી હોય} \end{cases}$. તો $\frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$ ની કિંમત શોધો.