mathop {lim }limits_{n to infty } frac{{{1^p} | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}$इसे योग के रूप में इस

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$\frac{1}{{p + 1}}$

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(A) हमें दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}$इसे योग के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {\left( {\frac{r}{n}} ight)^p}$निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} ight)} = \int_0^1 {f(x)dx}$,जहाँ $f(x) = x^p$ है।अतः,समाकलन हो जाता है: $\int_0^1 {x^p dx}$समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\left[ {\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}} ight]_0^1 = \frac{1^{p+1}}{p+1} - \frac{0^{p+1}}{p+1} = \frac{1}{{p + 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1) \sqrt{2n+1}}+\frac{n}{(n+2) \sqrt{2(2n+2)}}+\frac{n}{(n+3) \sqrt{3(2n+3)}}+\ldots n \text{ पद}\right]=\int_0^1 f(x) d x$,तो $f(x)=$

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left\{1+\sqrt{\frac{n}{n+3}}+\sqrt{\frac{n}{n+6}}+\sqrt{\frac{n}{n+9}}+\ldots+\sqrt{\frac{n}{n+3(n-1)}}\right\}$

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