S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + dots n पदों तक क | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n-1} \dots (1)$$x$ से गुणा करने पर: $xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \

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$\frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$

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(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n-1} \dots (1)$$x$ से गुणा करने पर: $xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \dots (2)$$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:$(1 - x)S_n = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + \dots + (nx^{n-1} - (n-1)x^{n-1}) - nx^n$$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n$गुणोत्तर श्रेणी $1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}$ का योग $\frac{1 - x^n}{1 - x}$ होता है।अतः,$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$$S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$

$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$ $n$ पदों तक का योग ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{107}} + \frac{1}{5^{108}}$. तो $(16S - (25)^{-54})$ का मान $............$ है।

यदि $S(x) = (1+x) + 2(1+x)^2 + 3(1+x)^3 + \ldots + 60(1+x)^{60}$,$x \neq 0$,और $(60)^2 S(60) = a(b)^b + b$ जहाँ $a, b \in N$,तो $(a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x) = \sin x + 2\sin^2 x + 3\sin^3 x + 4\sin^4 x + \dots \infty$ है। तो $x \in [-\pi, \pi] - \{\pm \frac{\pi}{2}\}$ में समीकरण $f(x) = 2$ के हलों की संख्या क्या है?

श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$ का $n$ पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।

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