एक कमरे में $10$ बल्ब हैं। उनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से चालू किया जा सकता है। कमरा कितने तरीकों से प्रकाशित किया जा सकता है?

यदि ${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक कक्षा में दस लड़के $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}$ और पाँच लड़कियाँ $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{5}$ हैं। यदि $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों एक साथ समूह के सदस्य नहीं होने चाहिए,तो तीन लड़कों और तीन लड़कियों का समूह बनाने के तरीकों की संख्या क्या है?

यदि $\binom{n-1}{4}, \binom{n-1}{5}$ और $\binom{n-1}{6}$ समांतर श्रेणी में हैं,तो संबंध ज्ञात कीजिए।

जब $n=5$ और $r=2$ हो,तो $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक कमरे में हर कोई एक-दूसरे से हाथ मिलाता है। हाथ मिलाने की कुल संख्या $66$ है। कमरे में व्यक्तियों की कुल संख्या है