तीन सदिशों $a, b, c$ के लिए,$[a \times b, b \times c, c \times a]$ का मान किसके बराबर है?

यदि $a = i - j + k$,$b = i + 2j - k$ और $c = 3i + pj + 5k$ समतलीय हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

माना $x_0$, $f(x) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) बिंदु है, जहाँ $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = -2\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$, और $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + x\hat{k}$ है। तब $x = x_0$ पर $\vec{a} \cdot \vec{c}$ का मान है:

यदि $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, $2 \hat{i}-\hat{k}$, $\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं, तो सदिश $6 \lambda \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।