यदि $a = i + j + k$,$b = 4i + 3j + 4k$,और $c = i + \alpha j + \beta k$ समतलीय सदिश हैं और $|c| = \sqrt{3}$ है,तो:

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक समांतर षट्फलक का आयतन $546$ है,जिसकी संलग्न भुजाएँ $-12i + \alpha k$,$3j - k$ और $2i + j - 15k$ द्वारा निरूपित हैं,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक $V$ आयतन वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारों को दर्शाते हैं। तो उस समांतर षट्फलक का आयतन,जिसके सह-आगामी किनारे $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,$..........\,V$ के बराबर है।

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ एक $7$ घन इकाई आयतन वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-अंतस्थ किनारों के अनुदिश अशून्य सदिश हैं,तो $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?

तीन सदिश $\hat{i}-\hat{k}$,$\lambda \hat{i}+\hat{j}+(1-\lambda) \hat{k}$,और $\mu \hat{i}+\lambda \hat{j}+(1+\lambda-\mu) \hat{k}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो समांतर षट्फलक का आयतन किस पर निर्भर करता है?