કિંમત શોધો: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

જો $a, b, c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = $

સદિશો $\overline{p}=\hat{i}+a \hat{j}+a^2 \hat{k}$,$\overline{q}=\hat{i}+b \hat{j}+b^2 \hat{k}$ અને $\overline{r}=\hat{i}+c \hat{j}+c^2 \hat{k}$ એ અસમતલીય છે અને $\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$ હોય,તો $(abc)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \lambda\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (\lambda^2 - 1)\hat{k}$ એ સમતલીય સદિશો છે. તો શૂન્યતર સદિશ $\vec{a} \times \vec{c}$ શું થાય?

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i}$, અને $\vec{c} = c_1 \hat{i} + c_2 \hat{j} + c_3 \hat{k}$ જ્યાં $c_1 = 1$ અને $c_2 = 2$ હોય, તો $c_3$ ની કિંમત શોધો જેથી $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય (coplanar) હોય.

જો $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ હોય,તો $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot[(\hat{a} \times \hat{b}) \times(\hat{a}+2 \hat{b})]$ ની કિંમત શોધો.