જો એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલક (parallelepiped) ની ત્રણ સમક્ષેત્રીય ધારો $(a - b)$,$(b - c)$ અને $(c - a)$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેનું ઘનફળ શોધો.

જો $\vec a = 3\vec j + 4\vec k$,$\vec b = 2\vec i + \vec k$ અને $\vec c$,$\vec d$ એ અનુક્રમે $\vec b$ ને સમાંતર અને લંબ $\vec a$ ના ઘટકો હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\left[ {(\vec a \times \vec c) \times (\vec c \times \vec d), (\vec c \times \vec d) \times (\vec d \times \vec a), (\vec d \times \vec a) \times (\vec a \times \vec c)} \right]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ શૂન્યતર સદિશો છે જેથી $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}=0$,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{r}||\overrightarrow{b}|$ અને $|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{r}||\overrightarrow{c}|$ થાય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ શું થાય?

વિધાન $1$: સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને તો જ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ થાય.
વિધાન $2$: સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ થાય,જ્યાં $\vec{u} \times \vec{v}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે.

સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો જેની પાસપાસેની ધાર સદિશો $2i - 3j + 4k$,$i + 2j - 2k$,અને $3i - j + k$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

ધારો કે $a, b, c$ એ ભિન્ન અઋણ સંખ્યાઓ છે. જો સદિશો $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ અને $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો $c$ એ