સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ શોધો.

ધારો કે $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ ત્રણ એકમ સદિશો છે જેથી $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = \frac{1}{2}(\hat{\beta} + \hat{\gamma})$ થાય. જો $\hat{\beta}$ એ $\hat{\gamma}$ ને સમાંતર ન હોય, તો $\hat{\alpha}$ અને $\hat{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેના વિકર્ણો સદિશો $\bar{a}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\bar{b}=-\hat{i}+3 \hat{j}-3 \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ધારો કે $\overline{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\overline{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in R$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\overline{b} \times \overline{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2-\alpha \beta$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}, \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ છે. જો $A$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.