થેલો $A$ માં $2$ સફેદ અને $3$ લાલ દડા છે. થેલો $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે. એક થેલો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે,જે લાલ રંગનો છે. તો તે દડો થેલા $B$ માંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના શોધો.

બે સિક્કા ઉપલબ્ધ છે, એક નિષ્પક્ષ અને બીજો બે-છાપવાળો. એક સિક્કો પસંદ કરો અને તેને એક વાર ઉછાળો; ધારો કે નિષ્પક્ષ સિક્કો $\frac{3}{4}$ સંભાવના સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો પરિણામ છાપ (head) હોય, તો બે-છાપવાળો સિક્કો પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?

બોક્સ $I$ માં $1$ થી $30$ નંબરના $30$ કાર્ડ છે અને બોક્સ $II$ માં $31$ થી $50$ નંબરના $20$ કાર્ડ છે. એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક કાર્ડ કાઢવામાં આવે છે. કાર્ડ પરનો નંબર અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી તેમ જણાય છે. તો તે કાર્ડ બોક્સ $I$ માંથી કાઢવામાં આવ્યું હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક પત્ર $LONDON$ અથવા $CLIFTON$ માંથી આવ્યો હોવાનું જાણીતું છે; પોસ્ટમાર્ક પર માત્ર બે ક્રમિક અક્ષરો $ON$ વાંચી શકાય છે. તે $LONDON$ માંથી આવ્યો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $H_1, H_2, \ldots, H_{n}$ એ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(H_i) > 0, i = 1, 2, \ldots, n$. ધારો કે $E$ એ બીજી કોઈ ઘટના છે જ્યાં $0 < P(E) < 1$.
$\text{વિધાન}-1$: $P(H_i \mid E) > P(E \mid H_i) \cdot P(H_i)$ દરેક $i = 1, 2, \ldots, n$ માટે.
$\text{વિધાન}-2$: $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ બોક્સ $I$ માં અનુક્રમે લાલ અને કાળા દડાઓની સંખ્યા છે. ધારો કે $n_3$ અને $n_4$ એ બોક્સ $II$ માં અનુક્રમે લાલ અને કાળા દડાઓની સંખ્યા છે.
$1.$ બે બોક્સ,બોક્સ $I$ અને બોક્સ $II$ માંથી એકને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું અને તેમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવ્યો. દડો લાલ રંગનો જોવા મળ્યો. જો આ લાલ દડો બોક્સ $II$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{3}$ હોય,તો $n_1, n_2, n_3$ અને $n_4$ ના શક્ય મૂલ્યો સાથેનો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ $n_1=3, n_2=3, n_3=5, n_4=15$
$(B)$ $n_1=3, n_2=6, n_3=10, n_4=50$
$(C)$ $n_1=8, n_2=6, n_3=5, n_4=20$
$(D)$ $n_1=6, n_2=12, n_3=5, n_4=20$
$2.$ બોક્સ $I$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢીને બોક્સ $II$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ સ્થાનાંતરણ પછી બોક્સ $I$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ હોય,તો $n_1$ અને $n_2$ ના શક્ય મૂલ્યો સાથેનો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ $n_1=4, n_2=6$
$(B)$ $n_1=2, n_2=3$
$(C)$ $n_1=10, n_2=20$
$(D)$ $n_1=3, n_2=6$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.