ધારો કે બે સમતલો $P_1 : 2x - y + z = 2$ અને $P_2 : x + 2y - z = 3$ આપેલા છે. આપેલ માહિતીના આધારે,$P_1$ અને $P_2$ ના છેદમાંથી અને બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો $\hat{i}+\hat{j}$ અને $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ બિંદુઓને જોડતી રેખા,$2 \hat{i}+4 \hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $3 \hat{j}+5 \hat{k}$ તથા $3 \hat{i}-\hat{k}$ સદિશોને સમાંતર સમતલને $P$ બિંદુએ મળે,તો બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

$(1, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ સદિશને સમાંતર રેખા,રેખા $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ ને $A$ બિંદુએ અને સમતલ $2 x - y + 2 z + 7 = 0$ ને $B$ બિંદુએ મળે છે. તો $AB = $

બિંદુ $(-1, -5, -10)$ નું રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ અને સમતલ $x - y + z = 5$ ના છેદબિંદુથી અંતર શોધો.

ધારો કે $\pi_1$ એ $\bar{i}+\bar{j}$ અને $\bar{i}+\bar{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે અને $\pi_2$ એ $\bar{j}-\bar{k}$ અને $\bar{k}-\bar{i}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે. ધારો કે $\bar{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર એક શૂન્યેતર સદિશ છે. જો $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ હોય, તો સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$\lambda$ ના કેટલા ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે રેખાઓ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{\lambda^2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{\lambda^2} = \frac{z - 1}{2}$ સમતલીય છે?