यदि फलन f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1,जहाँ | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है,जहाँ $a > 0$ है। सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$। क्रांतिक बिंदु (cri

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$2$

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(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है,जहाँ $a > 0$ है। सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$। क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$,जिसके गुणनखंड $6(x - a)(x - 2a) = 0$ होते हैं। अतः,क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं। द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 12x - 18a$। $x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a  0$),इसलिए $x = a$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है। अतः,$p = a$। $x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$,इसलिए $x = 2a$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। अतः,$q = 2a$। शर्त $p^2 = q$ दी गई है,इसलिए मान रखने पर: $a^2 = 2a$। चूंकि $a > 0$,$a$ से विभाजित करने पर हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$,जहाँ $a > 0$,क्रमशः $p$ और $q$ पर अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है,ताकि $p^2 = q$ हो,तो $a$ का मान क्या है?

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