माना a, b in R इस प्रकार हैं कि फलन f(x) = ln | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \ln|x| + bx^2 + ax$. अवकलज $f'(x) = \frac{1}{x} + 2bx + a$ है।चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(-1)

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कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \ln|x| + bx^2 + ax$. अवकलज $f'(x) = \frac{1}{x} + 2bx + a$ है।चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(-1) = 0$ और $f'(2) = 0$ होना चाहिए।$x = -1$ के लिए: $-1 - 2b + a = 0 \implies a - 2b = 1$.$x = 2$ के लिए: $\frac{1}{2} + 4b + a = 0 \implies a + 4b = -\frac{1}{2}$.समीकरणों को घटाने पर: $(a + 4b) - (a - 2b) = -\frac{1}{2} - 1 \implies 6b = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{1}{4}$.$b = -\frac{1}{4}$ को $a - 2b = 1$ में रखने पर: $a - 2(-\frac{1}{4}) = 1 \implies a + \frac{1}{2} = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.अतः,कथन-$2$ सत्य है।अब,$f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 2b = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}$.$x = -1$ पर,$f''(-1) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $x = 2$ पर,$f''(2) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

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