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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4\sin^2\frac{x}{2} - 4\sin\frac{x}{2}} \; dx$ है।इसे $I = \int_0^\pi \sqrt{(1 - 2\sin\frac{x}{2})^2} \;

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$4\sqrt 3 - 4 - \frac{\pi }{3}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4\sin^2\frac{x}{2} - 4\sin\frac{x}{2}} \; dx$ है।इसे $I = \int_0^\pi \sqrt{(1 - 2\sin\frac{x}{2})^2} \; dx = \int_0^\pi |1 - 2\sin\frac{x}{2}| \; dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।हम जानते हैं कि $1 - 2\sin\frac{x}{2} = 0$ तब होता है जब $\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$।$0 \le x  0$। $\frac{\pi}{3} अतः,$I = \int_0^{\pi/3} (1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx + \int_{\pi/3}^\pi -(1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx$।$I = [x + 4\cos\frac{x}{2}]_0^{\pi/3} - [x + 4\cos\frac{x}{2}]_{\pi/3}^\pi$।$I = ((\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}) - (0 + 4\cos 0)) - ((\pi + 4\cos\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}))$।$I = (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4) - ((\pi + 0) - (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3}))$।$I = \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4 - \pi + \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4 - \frac{\pi}{3}$।

$\mathop \smallint \limits_0^\pi \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}\frac{x}{2} - 4\sin \frac{x}{2}} \;dx = $

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योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2}(x^{2}+1) dx$ ज्ञात कीजिए।

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