$m = 60 \text{ g}$ દળનો એક દડો $v_0 = 22 \text{ m/s}$ ની ઝડપથી $M = 240 \text{ g}$ દળ ધરાવતી સ્પ્રિંગ ગનની નળીમાં છોડવામાં આવે છે,જે ઘર્ષણરહિત સપાટી પર સ્થિર છે. દડો સ્પ્રિંગના મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ નળીમાં ચોંટી જાય છે. દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાનો કેટલો ભાગ હવે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત થાય છે?

એક દડાને જમીનથી $40 \,m$ ની ઊંચાઈએથી $v$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ નીચે ફેંકવામાં આવે છે. દડો જમીન સાથે અથડાય છે, તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાના $\frac{1}{3}$ ભાગ ગુમાવે છે અને તે જ ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળે છે. જો ગુરુત્વપ્રવેગ $10 \,m/s^2$ હોય, તો $v$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે ($\,m/s$ માં)?

$m$ દળનો એક કણ જમીન પરથી $u$ ઝડપ સાથે $\theta = \frac{\pi}{3}$ ના ખૂણે (ક્ષિતિજ સમાંતર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ) ફેંકવામાં આવે છે. જ્યારે તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,ત્યારે તે સમાન દળ અને $u \hat{i}$ વેગ ધરાવતા બીજા કણ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. જમીન પર પહોંચતા પહેલા સંયુક્ત દળ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર કેટલું હશે?

$m$ દળનો એક બ્લોક આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર $H$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી સરકે છે. તે $\mu$ ગતિજ ઘર્ષણાંક ધરાવતી ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર $d$ અંતર કાપે છે અને ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય તે પહેલાં $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી દબાવે છે. ત્યારબાદ સ્પ્રિંગ વિસ્તરે છે અને બ્લોક પાછો ફરે છે અને અંતિમ ઊંચાઈ $h$ પ્રાપ્ત કરે છે. તો,

એક એન્જિન $1.5\, \text{m}$ લંબાઈના શોક એબ્સોર્બર દ્વારા વેગન સાથે જોડાયેલું છે. $40,000\, \text{kg}$ ના કુલ દળ ધરાવતી આ સિસ્ટમ $72\, \text{km/h}$ ની ઝડપે ગતિ કરી રહી છે,જ્યારે તેને સ્થિર કરવા માટે બ્રેક લગાવવામાં આવે છે. સિસ્ટમને સ્થિર કરવાની પ્રક્રિયામાં,શોક એબ્સોર્બરની સ્પ્રિંગ $1.0\, \text{m}$ જેટલી દબાય છે. જો ઘર્ષણને કારણે વેગનની $90\, \%$ ઉર્જાનો વ્યય થતો હોય,તો સ્પ્રિંગ અચળાંક $....\, \times 10^{5}\, \text{N/m}$ છે.

નીચેનાના જવાબ આપો:
$(a)$ ઉડાન દરમિયાન રોકેટનું આવરણ ઘર્ષણને કારણે બળી જાય છે. બળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા કોના ખર્ચે મેળવવામાં આવે છે? રોકેટ કે વાતાવરણ?
$(b)$ ધૂમકેતુઓ સૂર્યની આસપાસ અત્યંત લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે. સૂર્યને કારણે ધૂમકેતુ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સામાન્ય રીતે ધૂમકેતુના વેગને લંબ હોતું નથી. તેમ છતાં,ધૂમકેતુની દરેક સંપૂર્ણ કક્ષા પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે. શા માટે?
$(c)$ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ ખૂબ જ પાતળા વાતાવરણમાં વાતાવરણીય અવરોધને કારણે તેની ઉર્જા ધીમે ધીમે ગુમાવે છે. તો પછી જેમ જેમ તે પૃથ્વીની નજીક આવે છે તેમ તેની ઝડપ કેમ વધે છે?
$(d)$ આકૃતિ $(i)$ માં,માણસ તેના હાથ પર $15\; kg$ દળ લઈને $2\; m$ ચાલે છે. આકૃતિ $(ii)$ માં,તે તેની પાછળ દોરડું ખેંચીને એટલું જ અંતર ચાલે છે. દોરડું ગરગડી પરથી પસાર થાય છે,અને તેના બીજા છેડે $15\; kg$ દળ લટકે છે. કયા કિસ્સામાં કાર્ય વધારે થાય છે?