एक असमान छड़ OA जिसकी रैखिक द्रव्यमान घनत्व l | vedclass

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Question

(C) द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार है:$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x (\lambda_0 x) dx}{\int_{0}^{L} (\lambda_0 x) dx}

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$\frac{4g}{3L}$

Vedclass · Answer

(C) द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार है:$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x (\lambda_0 x) dx}{\int_{0}^{L} (\lambda_0 x) dx} = \frac{\lambda_0 [x^3/3]_0^L}{\lambda_0 [x^2/2]_0^L} = \frac{L^3/3}{L^2/2} = \frac{2L}{3}$.छड़ का कुल द्रव्यमान $M$:$M = \int_{0}^{L} \lambda_0 x dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2}$.हिंज $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$:$I = \int x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 (\lambda_0 x) dx = \lambda_0 \int_{0}^{L} x^3 dx = \frac{\lambda_0 L^4}{4}$.डोरी काटने के तुरंत बाद,हिंज $O$ के परितः टॉर्क $	au$ गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है:$	au = Mg 	imes X_{cm} = \left( \frac{\lambda_0 L^2}{2} ight) g \left( \frac{2L}{3} ight) = \frac{\lambda_0 g L^3}{3}$.संबंध $	au = I \alpha$ का उपयोग करते हुए:$\frac{\lambda_0 g L^3}{3} = \left( \frac{\lambda_0 L^4}{4} ight) \alpha$.$\alpha$ के लिए हल करने पर:$\alpha = \frac{\lambda_0 g L^3}{3} 	imes \frac{4}{\lambda_0 L^4} = \frac{4g}{3L}$.

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