R त्रिज्या और M द्रव्यमान का एक काला ठोस गोला | vedclass

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Question

(C) गोले द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$,जहाँ $A = 4\pi R^2$ है।साथ ही,गोले द्वारा

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$\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma} \ln \left( \frac{16}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(C) गोले द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$,जहाँ $A = 4\pi R^2$ है।साथ ही,गोले द्वारा खोई गई ऊष्मा $dQ = -Mc dT$ है,जहाँ $c = \alpha T^3$ है।दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $-M(\alpha T^3) dT = \sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4) dt$ प्राप्त होता है।$dt$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dt = -\frac{M\alpha T^3 dT}{\sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4)}$।$T = 3T_0$ से $T = 2T_0$ तक समाकलन करने पर: $t = \int_{2T_0}^{3T_0} \frac{M\alpha T^3}{4\pi R^2 \sigma (T^4 - T_0^4)} dT$।मान लीजिए $u = T^4 - T_0^4$,तो $du = 4T^3 dT$,इसलिए $T^3 dT = du/4$ होगा।$t = \frac{M\alpha}{4\pi R^2 \sigma} \int_{T=2T_0}^{T=3T_0} \frac{du/4}{u} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(u)]_{T=2T_0}^{T=3T_0}$।$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(T^4 - T_0^4)]_{2T_0}^{3T_0} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{(3T_0)^4 - T_0^4}{(2T_0)^4 - T_0^4} \right)$।$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{81T_0^4 - T_0^4}{16T_0^4 - T_0^4} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{80}{15} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{16}{3} \right)$।

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