વર્તુળની જીવા $PQ$ એ વર્તુળના બિંદુ $R$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકને સમાંતર છે. સાબિત કરો કે $R$ એ ચાપ $PRQ$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપેલ છે: જીવા $PQ$ એ બિંદુ $R$ આગળના સ્પર્શક $MN$ ને સમાંતર છે.
સાબિત કરવાનું છે: $R$ એ ચાપ $PRQ$ ને દુભાગે છે, એટલે કે ચાપ $PR = \text{ચાપ } RQ$.
સાબિતી:
ધારો કે $MN$ એ $R$ આગળનો સ્પર્શક છે. $PQ \parallel MN$ હોવાથી, યુગ્મકોણ સમાન થાય.
તેથી, $\angle MRP = \angle RPQ$ (ધારો કે આ $\angle 1 = \angle 2$ છે).
યુગ્મકોણ પ્રમેય મુજબ, સ્પર્શક અને જીવા વચ્ચેનો ખૂણો એ જીવા દ્વારા એકાંતર વૃત્તખંડમાં બનતા ખૂણા જેટલો હોય છે.
તેથી, $\angle MRP = \angle RQP$ (ધારો કે આ $\angle 1 = \angle 3$ છે).
ઉપરના બે સમીકરણો પરથી, આપણને $\angle 2 = \angle 3$ મળે છે, એટલે કે $\angle RPQ = \angle RQP$.
$\triangle PQR$ માં, $\angle RPQ = \angle RQP$ હોવાથી, આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી, $PR = RQ$.
જીવા $PR$ અને $RQ$ સમાન હોવાથી, તેમના દ્વારા બનતી ચાપ પણ સમાન હોય છે.
આમ, ચાપ $PR = \text{ચાપ } RQ$, જેનો અર્થ છે કે $R$ એ ચાપ $PRQ$ ને દુભાગે છે.