एक वक्र समीकरणों x = sec^2 t और y = cot t द्व | vedclass

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Question

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ हैं।$t$ का विलोपन करने पर,सर्वसमिका $\sec^2 t = 1 + 	an^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t}$ का उप

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$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

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(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ हैं।$t$ का विलोपन करने पर,सर्वसमिका $\sec^2 t = 1 + 	an^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t}$ का उपयोग करके,हमें $x = 1 + \frac{1}{y^2}$ प्राप्त होता है,जो $y^2(x - 1) = 1$ में सरल हो जाता है।$t = \pi / 4$ पर,$x = \sec^2(\pi / 4) = 2$ और $y = \cot(\pi / 4) = 1$ है। अतः,$P = (2, 1)$ है।$y^2(x - 1) = 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।$P(2, 1)$ पर,$2(1) \frac{dy}{dx}(2 - 1) + 1^2 = 0 \implies 2 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -1/2$ है।$P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies 2y - 2 = -x + 2 \implies x + 2y = 4$ है।वक्र के समीकरण $y^2(x - 1) = 1$ में $x = 4 - 2y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y^2(4 - 2y - 1) = 1 \implies y^2(3 - 2y) = 1 \implies 3y^2 - 2y^3 = 1 \implies 2y^3 - 3y^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।चूँकि $P$ स्पर्श बिंदु है,$y = 1$ एक दोहरा मूल है। $2y^3 - 3y^2 + 1$ को $(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$ से विभाजित करने पर,हमें $(y - 1)^2(2y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।अन्य मूल $y = -1/2$ है। तब $x = 4 - 2(-1/2) = 4 + 1 = 5$ है। अतः,$Q = (5, -1/2)$ है।दूरी $|PQ| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-1/2 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3/2)^2} = \sqrt{9 + 9/4} = \sqrt{45/4} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ है।

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