एक अतिपरवलय (hyperbola),दीर्घवृत्त (ellipse) | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^{2}=25$ और $b^{2}=16$ है।उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\f

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$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$

Vedclass · Answer

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^{2}=25$ और $b^{2}=16$ है।उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae_{1}, 0) = (\pm 5 	imes \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।दिया गया है कि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,इसलिए $e_{1} 	imes e_{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{5} 	imes e_{2} = 1$ $\Rightarrow e_{2} = \frac{5}{3}$ है।माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।चूँकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त की नाभियों $(\pm 3, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 9$ प्राप्त होता है।अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}(e_{2}^{2}-1) = 9((\frac{5}{3})^{2}-1) = 9(\frac{25}{9}-1) = 9(\frac{16}{9}) = 16$ प्राप्त होता है।अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ है।

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