x-अक्ष पर x = 0, 1, 2, 4, 8, dots इकाइयों पर | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $F_1, F_2, F_4, F_8, \dots$ क्रमशः $x = 1, 2, 4, 8, \dots$ पर स्थित द्रव्यमान $m$ द्वारा मूल बिंदु पर स्थित द्रव्यमान पर लगाए गए गुरुत्व

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{3} G m^2$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $F_1, F_2, F_4, F_8, \dots$ क्रमशः $x = 1, 2, 4, 8, \dots$ पर स्थित द्रव्यमान $m$ द्वारा मूल बिंदु पर स्थित द्रव्यमान पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल हैं।न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ का उपयोग करते हुए,बल इस प्रकार हैं:$F_1 = \frac{G m^2}{1^2} = G m^2$$F_2 = \frac{G m^2}{2^2} = \frac{G m^2}{4}$$F_4 = \frac{G m^2}{4^2} = \frac{G m^2}{16}$$F_8 = \frac{G m^2}{8^2} = \frac{G m^2}{64}$कुल बल $F_{total}$ इन बलों का योग है:$F_{total} = G m^2 \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.अतः,$F_{total} = G m^2 \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} G m^2$.

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