$r$ ત્રિજ્યા અને $S$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતા એક ધાતુના ગોળાને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરી પર $f$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપે ફેરવવામાં આવે છે. તેને અચાનક રોકવામાં આવે છે અને તેની ગતિઊર્જાના $50\%$ ભાગનો ઉપયોગ તેના તાપમાનમાં વધારો કરવા માટે થાય છે. તો ગોળાના તાપમાનમાં થતો વધારો કેટલો હશે?

$2 \ kg$ દળ અને $1 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી રીંગ $1 \ m/s$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. $1 \ kg$ દળનો એક નાનો દડો,જે વિરુદ્ધ દિશામાં $2 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે,તે $1.8 \ m$ ની ઊંચાઈએ રીંગને અથડાય છે અને $1 \ m/s$ ના વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ જાય છે. અથડામણ પછી તરત જ:
$(A)$ રીંગ તેના સ્થિર $CM$ ની આસપાસ શુદ્ધ પરિભ્રમણ કરે છે.
$(B)$ રીંગ સંપૂર્ણપણે અટકી જાય છે.
$(C)$ રીંગ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ ડાબી તરફ છે.
$(D)$ રીંગ અને જમીન વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ નથી.

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

સ્થિર સ્થિતિમાંથી એક રિંગ ઉપર ટૉર્ક લગાડતાં,તે અચળ કોણીય પ્રવેગ $8 \ rad \ s^{-2}$ ની અસર હેઠળ ચાકગતિ શરૂ કરે છે. આ રિંગ $5 \ s$ માં કેટલાં પરિભ્રમણ કરશે? છઠ્ઠી સેકન્ડમાં આ રિંગ કેટલા પરિભ્રમણ કરશે? જો $6 \ s$ બાદ રિંગ ઉપર લાગતું ટૉર્ક શૂન્ય થઈ જાય,તો સાતમી સેકન્ડમાં આ રિંગ કેટલાં પરિભ્રમણ કરશે?

સમાન વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જો કણની ગતિઊર્જા બમણી કરવામાં આવે અને આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે,તો નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થશે?

$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,જેની તેની ધાર (rim) માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ જ રહે છે. તો તકતીની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?