C धारिता वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र में A | vedclass

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Question

(A) संधारित्र $N$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के बराबर है,प्रत्येक की मोटाई $\delta = dx = \frac{d}{N}$ है।बड़े $N$ के लिए,हम इसे एक निरंतर परिवर्तन

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(A) संधारित्र $N$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के बराबर है,प्रत्येक की मोटाई $\delta = dx = \frac{d}{N}$ है।बड़े $N$ के लिए,हम इसे एक निरंतर परिवर्तन के रूप में मान सकते हैं जहाँ $\frac{m}{N} = \frac{x}{d}$ है।परावैद्युतांक $K(x) = K(1 + \frac{x}{d})$ के रूप में बदलता है।श्रेणी में जुड़े संधारित्रों के लिए समतुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \int \frac{dx}{C(x)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C(x) = \frac{K(x) \varepsilon_0 A}{dx}$ है।मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \int_0^d \frac{dx}{\frac{K(1 + x/d) \varepsilon_0 A}{dx}} = \frac{1}{K \varepsilon_0 A} \int_0^d \frac{dx}{1 + x/d}$.मान लीजिए $u = 1 + \frac{x}{d}$,तो $du = \frac{dx}{d}$,इसलिए $dx = d \cdot du$.$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \int_1^2 \frac{du}{u} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} [\ln u]_1^2 = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \ln 2$.इस प्रकार,$C_{eq} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2}$.इसे दिए गए समीकरण $C = \alpha \left( \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

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