एक कण को जमीन से $u$ वेग के साथ क्षैतिज से $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। क्षैतिज परास,अधिकतम ऊँचाई और उड्डयन काल क्रमशः $R, H$ और $T$ हैं। वे $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$,$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिए गए हैं। अब $u$ को स्थिर रखते हुए,$\theta$ को $30^o$ से $60^o$ तक बदला जाता है। तब,

$0.25 \; kg$ द्रव्यमान का एक पत्थर एक डोरी के सिरे से बंधा है और $1.5 \; m$ त्रिज्या वाले वृत्त में $40 \; rev./min$ की चाल से एक क्षैतिज तल में घुमाया जा रहा है। यदि पत्थर की चाल को अधिकतम अनुमेय मान से अधिक बढ़ा दिया जाए और डोरी अचानक टूट जाए,तो डोरी टूटने के बाद पत्थर के प्रक्षेप पथ का सही वर्णन निम्नलिखित में से कौन सा है:
$(a)$ पत्थर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर गति करता है।
$(b)$ पत्थर डोरी टूटने के क्षण से स्पर्शरेखीय रूप से उड़ जाता है।
$(c)$ पत्थर स्पर्शरेखा के साथ एक कोण पर उड़ जाता है जिसका परिमाण कण की चाल पर निर्भर करता है?

प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई पर चाल उसकी प्रारंभिक चाल की आधी है। प्रक्षेपण कोण ......... $^o$ है।

$m$ द्रव्यमान का एक कण $F$ बल के प्रभाव में $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ रैखिक गति से घूम रहा है। यदि $m, v$ और $r$ तीनों में $50 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो कण को एकसमान वृत्तीय गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक बल में परिवर्तन क्या होगा ($\%$ में)?

एक प्रक्षेप्य को $xy$ तल में मूलबिंदु से ($x$ क्षैतिज है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा है) $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूलबिंदु से इसकी दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ को $x$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है,तो परिणामी वक्र प्रक्षेपण कोणों $\alpha_1$ और $\alpha_2$ के लिए अलग-अलग व्यवहार दिखाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $\alpha_1$ के लिए,$r(x)$ $x$ के साथ बढ़ता रहता है,जबकि $\alpha_2$ के लिए,$r(x)$ बढ़ता है और अधिकतम तक पहुँचता है,फिर घटता है और दोबारा बढ़ने से पहले एक न्यूनतम से गुजरता है। इन दो स्थितियों के बीच का परिवर्तन एक क्रांतिक कोण $\alpha_c$ (जहाँ $\alpha_1 < \alpha_c < \alpha_2$) पर होता है। $\alpha_c$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $v_0$ प्रक्षेप्य की प्रारंभिक गति है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।

एक कण चित्र में दिखाए अनुसार $5 \, ms^{-1}$ की स्थिर चाल से गति करता है। आधे चक्कर के दौरान वेग में परिवर्तन $ms^{-1}$ में कितना होगा?