$z-$ दिशा में यात्रा कर रही एक समतल $EM$ तरंग को $\vec E = E_0 \sin(kz - \omega t)\hat i$ और $\vec B = B_0 \sin(kz - \omega t)\hat j$ द्वारा वर्णित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ तरंग का औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$ है।
$(ii)$ तरंग की समय-औसत तीव्रता $I_{av} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ है।

(N/A) $(i)$ विद्युत क्षेत्र $E$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
कुल तात्कालिक ऊर्जा घनत्व $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
एक समतल तरंग के लिए,$E = E_0 \sin(kz - \omega t)$ और $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ है।
एक चक्र पर $\sin^2(kz - \omega t)$ का समय औसत $\frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\langle E^2 \rangle = \frac{E_0^2}{2}$ और $\langle B^2 \rangle = \frac{B_0^2}{2}$ है।
इन मानों को औसत ऊर्जा घनत्व के व्यंजक में रखने पर:
$U_{av} = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{E_0^2}{2} \right) + \frac{1}{2 \mu_0} \left( \frac{B_0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$.
$(ii)$ चूंकि $E_0 = c B_0$,इसलिए $B_0 = \frac{E_0}{c}$ है। साथ ही,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$,इसलिए $\frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0$ है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $B_0$ और $\frac{1}{\mu_0}$ का मान रखने पर:
$U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} (c^2 \epsilon_0) \left( \frac{E_0}{c} \right)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$.
तीव्रता $I_{av}$ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल से गुजरने वाली ऊर्जा है,जो $I_{av} = U_{av} \cdot c$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$I_{av} = \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \right) c = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.