એક ધન પૂર્ણાંક $3q + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $q$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. શું તમે તેનો વર્ગ $3m + 1$ સિવાયના કોઈ સ્વરૂપમાં,એટલે કે કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $3m$ અથવા $3m + 2$ સ્વરૂપમાં લખી શકો? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

(B) ના. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $3q, 3q + 1$ અથવા $3q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ચાલો આ સ્વરૂપોના વર્ગની તપાસ કરીએ:
$1.$ જો પૂર્ણાંક $3q$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
$2.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 1$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
$3.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 2$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે. તે ક્યારેય $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.