એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનું અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર સહગુણકનું મૂલ્ય એક છે. કાર્તેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલા છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ નો અદિશ ગુણાકાર શોધો.

List-$I$ માં આપેલા પ્રાચલિત સ્વરૂપોને List-$II$ માં તેમના અનુરૂપ શંકુ આકારો સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\left[\frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right), \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]$	$(I)$ પરવલય
$(B)$ $(p+q \cos \theta, r+q \sin \theta)$	$(II)$ વર્તુળ
$(C)$ $(p+\lambda^2, q-\lambda)$	$(III)$ ઉપવલય
	$(IV)$ અતિવલય

એક ઉપવલય,અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ને લંબરૂપે છેદે છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલયના અક્ષો યામ અક્ષો પર હોય,તો:
$(A)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે
$(B)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે
$(C)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 4$ છે
$(D)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm \sqrt{2}, 0)$ છે

જો અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $2|x| + 3|y| = 6$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં શોધો.

ધારો કે $F_1(-1, 0)$ અને $F_2(1, 0)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ ના નાભિઓ છે. ધારો કે એક પરવલય જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિ $F_2$ પર છે,તે ઉપવલયને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $M$ પર અને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $N$ પર છેદે છે.
$(1)$ ત્રિકોણ $F_1 M N$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ જો ઉપવલયના $M$ અને $N$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો $R$ માં મળે અને પરવલયના $M$ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે,તો ત્રિકોણ $M Q R$ ના ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $M F_1 N F_2$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$