एक रॉकेट को मंगल की सतह से $2 \; km/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर रूप से छोड़ा जाता है। यदि मंगल के वायुमंडलीय प्रतिरोध के कारण इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $20 \%$ नष्ट हो जाता है,तो रॉकेट वापस लौटने से पहले मंगल की सतह से कितनी दूर जाएगा? (मंगल का द्रव्यमान $= 6.4 \times 10^{23} \; kg$,मंगल की त्रिज्या $= 3395 \; km$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$)
(495 KM) रॉकेट का प्रारंभिक वेग,$v = 2 \; km/s = 2 \times 10^3 \; m/s$.
मंगल का द्रव्यमान,$M = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
मंगल की त्रिज्या,$R = 3395 \; km = 3.395 \times 10^6 \; m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
चूंकि $20 \%$ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है,उपलब्ध प्रभावी गतिज ऊर्जा $0.8 K_i = 0.4 m v^2$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = 0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R}$.
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर,अंतिम वेग शून्य हो जाता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$E_i = E_f$:
$0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$m$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $0.4 v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$.
$h$ के लिए हल करने पर: $\frac{R+h}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} \implies \frac{R}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} - 1$.
$h = \frac{0.4 R^2 v^2}{GM - 0.4 v^2 R}$.
मान रखने पर: $h = \frac{0.4 \times (3.395 \times 10^6)^2 \times (2 \times 10^3)^2}{(6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}) - (0.4 \times (2 \times 10^3)^2 \times 3.395 \times 10^6)}$.
$h = \frac{18.442 \times 10^{18}}{42.688 \times 10^{12} - 5.432 \times 10^{12}} = \frac{18.442}{37.256} \times 10^6 \approx 495 \; km$.
मंगल का द्रव्यमान,$M = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
मंगल की त्रिज्या,$R = 3395 \; km = 3.395 \times 10^6 \; m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
चूंकि $20 \%$ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है,उपलब्ध प्रभावी गतिज ऊर्जा $0.8 K_i = 0.4 m v^2$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = 0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R}$.
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर,अंतिम वेग शून्य हो जाता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$E_i = E_f$:
$0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$m$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $0.4 v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$.
$h$ के लिए हल करने पर: $\frac{R+h}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} \implies \frac{R}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} - 1$.
$h = \frac{0.4 R^2 v^2}{GM - 0.4 v^2 R}$.
मान रखने पर: $h = \frac{0.4 \times (3.395 \times 10^6)^2 \times (2 \times 10^3)^2}{(6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}) - (0.4 \times (2 \times 10^3)^2 \times 3.395 \times 10^6)}$.
$h = \frac{18.442 \times 10^{18}}{42.688 \times 10^{12} - 5.432 \times 10^{12}} = \frac{18.442}{37.256} \times 10^6 \approx 495 \; km$.
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