$1.05 \; m$ लंबाई की एक छड़ जिसका द्रव्यमान नगण्य है,को चित्र में दिखाए अनुसार समान लंबाई के स्टील (तार $A$) और एल्युमिनियम (तार $B$) के दो तारों द्वारा उसके सिरों पर सहारा दिया गया है। तारों $A$ और $B$ के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल क्रमशः $1.0 \; mm^2$ और $2.0 \; mm^2$ हैं। स्टील और एल्युमिनियम दोनों तारों में $(a)$ समान प्रतिबल और $(b)$ समान विकृति उत्पन्न करने के लिए छड़ पर किस बिंदु पर द्रव्यमान $m$ लटकाया जाना चाहिए?

(A) दिया गया है:
छड़ की लंबाई $L = 1.05 \; m$
स्टील के तार $A$ का क्षेत्रफल $(a_1)$ = $1.0 \times 10^{-6} \; m^2$
एल्युमिनियम के तार $B$ का क्षेत्रफल $(a_2)$ = $2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
स्टील के लिए यंग मापांक $(Y_1)$ = $2 \times 10^{11} \; N/m^2$
एल्युमिनियम के लिए यंग मापांक $(Y_2)$ = $7.0 \times 10^{10} \; N/m^2$
$(a)$ समान प्रतिबल के लिए:
प्रतिबल = $\frac{F}{a}$. यदि प्रतिबल समान हैं,तो $\frac{F_1}{a_1} = \frac{F_2}{a_2} \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1}{a_2} = 0.5$.
तार $A$ से $y$ दूरी पर निलंबन बिंदु पर टॉर्क लेने पर:
$F_1 y = F_2 (1.05 - y) \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y}{y} = 0.5$.
$1.05 - y = 0.5y \implies 1.5y = 1.05 \implies y = 0.7 \; m$.
$(b)$ समान विकृति के लिए:
विकृति = $\frac{\text{प्रतिबल}}{Y} = \frac{F}{aY}$. यदि विकृति समान हैं,तो $\frac{F_1}{a_1 Y_1} = \frac{F_2}{a_2 Y_2}$.
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1 Y_1}{a_2 Y_2} = \left(\frac{1.0}{2.0}\right) \times \left(\frac{2 \times 10^{11}}{7 \times 10^{10}}\right) = \frac{10}{7}$.
तार $A$ से $y_1$ दूरी पर निलंबन बिंदु पर टॉर्क लेने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y_1}{y_1} = \frac{10}{7}$.
$7(1.05 - y_1) = 10y_1 \implies 7.35 - 7y_1 = 10y_1 \implies 17y_1 = 7.35 \implies y_1 \approx 0.432 \; m$.