એક ગોલીય કેપેસિટર પાસે $12 \;cm$ ત્રિજ્યાનો આંતરિક ગોળો અને $13 \;cm$ ત્રિજ્યાનો બાહ્ય ગોળો છે. બાહ્ય ગોળાને અર્થિંગ કરેલ છે અને આંતરિક ગોળાને $2.5 \;\mu C$ નો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે. સમકેન્દ્રી ગોળાઓ વચ્ચેની જગ્યા $32$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરેલી છે.
$(a)$ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ શોધો.
$(b)$ આંતરિક ગોળાનું સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
$(c)$ આ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સની સરખામણી $12 \;cm$ ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા ગોળા સાથે કરો. સમજાવો કે બાદનું કેપેસિટન્સ ઘણું ઓછું શા માટે છે.

(N/A) આપેલ છે:
આંતરિક ગોળાની ત્રિજ્યા,$r_1 = 12 \;cm = 0.12 \;m$
બાહ્ય ગોળાની ત્રિજ્યા,$r_2 = 13 \;cm = 0.13 \;m$
આંતરિક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q = 2.5 \;\mu C = 2.5 \times 10^{-6} \;C$
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક,$K = 32$
$(a)$ ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C = \frac{4 \pi \epsilon_0 K r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \;N \;m^2 \;C^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C = \frac{32 \times 0.12 \times 0.13}{9 \times 10^9 \times (0.13 - 0.12)} = \frac{0.4992}{9 \times 10^7} \approx 5.55 \times 10^{-9} \;F$
$(b)$ આંતરિક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{q}{C} = \frac{2.5 \times 10^{-6}}{5.55 \times 10^{-9}} \approx 450 \;V = 4.5 \times 10^2 \;V$
$(c)$ $r = 0.12 \;m$ ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા ગોળાનું કેપેસિટન્સ:
$C' = 4 \pi \epsilon_0 r = \frac{0.12}{9 \times 10^9} \approx 1.33 \times 10^{-11} \;F$
ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ઘણું વધારે છે કારણ કે અર્થિંગ કરેલ બાહ્ય ગોળો સમાન વિદ્યુતભાર માટે આંતરિક ગોળાના સ્થિતિમાનમાં ઘટાડો કરે છે,જેનાથી કેપેસિટન્સ વધે છે $(C = q/V)$.