$m$ द्रव्यमान का एक पत्थर नगण्य द्रव्यमान और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली एक प्रत्यास्थ डोरी से बंधा है। डोरी की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डोरी का दूसरा सिरा $P$ बिंदु पर एक कील से स्थिर है। प्रारंभ में पत्थर को $P$ बिंदु के स्तर पर रखा जाता है और ऊर्ध्वाधर रूप से गिराया जाता है।
$(a)$ ऊपर से वह दूरी $y$ ज्ञात कीजिए जब द्रव्यमान पहली बार एक क्षण के लिए स्थिर हो जाता है।
$(b)$ इस गिरावट में पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग क्या है?
$(c)$ पत्थर के अपने निम्नतम बिंदु पर पहुँचने के बाद गति की प्रकृति क्या होगी?

(N/A) आरेख पर विचार करें,पत्थर को $P$ बिंदु से गिराया जाता है।
$(a)$ पत्थर $L$ लंबाई तक मुक्त रूप से गिरता है। उसके बाद,डोरी की प्रत्यास्थता एक प्रत्यानयन बल लगाती है। मान लीजिए पत्थर $P$ से $y$ दूरी पर क्षणिक रूप से स्थिर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पत्थर की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = डोरी की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$mgy = \frac{1}{2}k(y - L)^2$
$mgy = \frac{1}{2}k(y^2 - 2yL + L^2)$
$2mgy = ky^2 - 2kyL + kL^2$
$ky^2 - 2(mg + kL)y + kL^2 = 0$
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{2(mg + kL) \pm \sqrt{4(mg + kL)^2 - 4k^2L^2}}{2k}$
$y = \frac{(mg + kL) + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL + k^2L^2 - k^2L^2}}{k}$
$y = L + \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL}}{k}$
$(b)$ अधिकतम वेग तब प्राप्त होता है जब त्वरण शून्य होता है,अर्थात जब तनाव बल वजन के बराबर होता है: $k(y_{eq} - L) = mg$,इसलिए $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$।
प्रारंभिक और संतुलन स्थिति के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$mgy_{eq} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(y_{eq} - L)^2$
$mg(L + \frac{mg}{k}) = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2$
$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$
$v_{max} = \sqrt{2gL + \frac{m^2g^2}{mk}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$।
$(c)$ निम्नतम बिंदु पर पहुँचने के बाद,पत्थर संतुलन स्थिति $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$ के इर्द-गिर्द सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगा।