$2\,m$ લંબાઈનો એક પાતળો તાર $x-y$ સમતલને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવ્યો છે. તેને $\overrightarrow v = (2\hat i + 3\hat j + \hat k)\,m/s$ ના વેગથી $\overrightarrow B = (\hat i + 2\hat j)\,Wb/m^2$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે. તારના બે છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત......$V$ છે.

'$l$' પહોળાઈ,'$m$' દળ અને '$R$' અવરોધ ધરાવતું એક લાંબું લંબચોરસ વાહક લૂપ આંશિક રીતે લંબચોરસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં મૂકવામાં આવ્યું છે. તેને કેટલી વેગથી નીચેની તરફ ધકેલવું જોઈએ જેથી તે કોઈપણ પ્રવેગ વિના નીચે પડવાનું ચાલુ રાખી શકે? ($g = $ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$y=x^2$ આકારનો એક વાહક તાર $V_0 \hat{i}$ વેગથી અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \left(1 + \left(\frac{y}{L}\right)^\beta\right) \hat{k}$ માં ગતિ કરે છે. જો $V_0, B_0, L$ અને $\beta$ ધન અચળાંકો હોય અને $\Delta \phi$ એ તારના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે?
$(1)$ જો પેરાબોલિક તારને બદલે $y=x$ આકારનો $\sqrt{2} L$ લંબાઈનો સીધો તાર લેવામાં આવે,તો $|\Delta \phi|$ સમાન રહે છે.
$(2)$ $|\Delta \phi|$ એ $y$-અક્ષ પરના તારના પ્રક્ષેપની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે.
$(3)$ $\beta = 0$ માટે $|\Delta \phi| = \frac{1}{2} B_0 V_0 L$ થાય.
$(4)$ $\beta = 2$ માટે $|\Delta \phi| = \frac{4}{3} B_0 V_0 L$ થાય.

એક અચળ બળ $F$ ને $l$ લંબાઈના વાહક સળિયા પર લગાડવામાં આવે છે,જે $V$ અચળ ઝડપથી બે સમાંતર વાહક પાટાઓ પર ગતિ કરે છે. આ પાટાઓ એક છેડે $R$ અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે અને સમગ્ર તંત્ર એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જો પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ હોય,તો:

$m$ દળ અને $l$ લંબાઈનો એક વાહક સળિયો બે ઘર્ષણરહિત સમાંતર રેલ પર ગતિ કરે છે,જ્યાં $B$ મૂલ્યનું અચળ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t=0$ સમયે સળિયાને જમણી તરફ $v_{0}$ જેટલો પ્રારંભિક વેગ આપવામાં આવે છે. તો:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $m$ દળ અને અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતો એક વાહક તાર $XY$ બે સમાંતર વાહક તાર પર સરળતાથી સરકે છે. બંધ પરિપથમાં $AC$ ને કારણે $R$ જેટલો અવરોધ છે. $AB$ અને $CD$ આદર્શ વાહકો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B(t) \hat{k}$ છે.
$(i)$ તાર $XY$ ના પ્રવેગ માટેનું સમીકરણ લખો.
$(ii)$ જો $\vec{B}$ સમય પર આધારિત ન હોય,તો $v(0) = u_0$ ધારીને $v(t)$ મેળવો.
$(iii)$ $(ii)$ માટે,દર્શાવો કે $XY$ ની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ $R$ માં વ્યય થતી ઉષ્મા જેટલો છે.