દોરી પરના એક પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ છે.
$(a)$ $x = 1 \; cm$ અને $t = 1 \; s$ સમયે બિંદુનું સ્થાનાંતર અને દોલનનો વેગ કેટલો હશે? શું આ વેગ તરંગના પ્રસરણ વેગ જેટલો છે?
$(b)$ દોરી પરના એવા બિંદુઓ શોધો કે જેનું સ્થાનાંતર અને વેગ $x = 1 \; cm$ બિંદુના $t = 2 \; s, 5 \; s$ અને $11 \; s$ સમયના સ્થાનાંતર અને વેગ જેટલું જ હોય.

(A) આપેલ હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ છે.
$(a)$ $x = 1 \; cm$ અને $t = 1 \; s$ માટે:
$y(1, 1) = 7.5 \sin (0.0050 + 12 + \pi / 4) = 7.5 \sin (12.0050 + 0.785) = 7.5 \sin (12.79 \; rad)$.
ડિગ્રીમાં ફેરવતા: $12.79 \times (180 / \pi) \approx 732.81^{\circ}$.
$y = 7.5 \sin (732.81^{\circ}) = 7.5 \sin (8 \times 90^{\circ} + 12.81^{\circ}) = 7.5 \sin (12.81^{\circ}) \approx 7.5 \times 0.2217 \approx 1.663 \; cm$.
દોલનનો વેગ $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 7.5 \times 12 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4) = 90 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$.
$x = 1 \; cm, t = 1 \; s$ માટે: $v = 90 \cos (12.79 \; rad) = 90 \cos (12.81^{\circ}) \approx 90 \times 0.975 = 87.75 \; cm/s$.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v_p = \omega / k = 12 / 0.0050 = 2400 \; cm/s$.
અહીં $87.75 \; cm/s \neq 2400 \; cm/s$ હોવાથી,દોલનનો વેગ તરંગના પ્રસરણ વેગ જેટલો નથી.
$(b)$ તરંગલંબાઈ $\lambda = 2 \pi / k = 2 \pi / 0.0050 = 1256 \; cm = 12.56 \; m$.
સમાન સ્થાનાંતર અને વેગ ધરાવતા બિંદુઓ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે. તેથી,બિંદુઓ $x = (1 \; cm \pm n \lambda)$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.